第十九章 图像处理中的变分模型(2/2)

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    「||u||{L2(Ω)}2

    =∫{-1}^{1}|x|2 dx

    = 2∫{0}^{1} x2 dx

    = 2 *[x3/3]{0}^{1}

    = 2*(1/3)= 2/3 <∞「

    「所以，u∈ L2(Ω)。「

    沈妍若有所思地点点头：「原来验证函数属于L2空间，就是要证明它的L2范数是有限的。「

    「没错。「陈林继续写道，「接下来要求弱导数，这个稍微复杂一点。「

    他在纸上画了一个简单的图，展示|x|函数的形状。

    「你看，|x|在x=0处不可导，所以我们不能用普通的导数概念。这时候就需要用到弱导数的定义。「

    陈林开始详细推导，笔尖在纸上飞快移动：

    「设 v(x)= sign(x)={-1， x<0; 1， x>0}「

    「对任意φ∈ C_c^∞(Ω)，我们需要验证：「

    「∫{-1}^{1}|x|φ'(x) dx =-∫{-1}^{1} v(x)φ(x) dx「

    他将积分分成两部分计算，每一步都写得清清楚楚。

    沈妍看得很专注，偶尔会提出疑问：「这里为什麽可以分部积分？「

    「因为φ是紧支撑的光滑函数，「陈林耐心解释，「在边界处它的值为零，所以分部积分不会产生边界项。「

    时间在不知不觉中流逝。

    阳光透过窗户，在草稿纸上投下斑驳的光影。

    陈林的笔尖沙沙作响，偶尔停下来给沈妍详细解释某个关键步骤。

    「你看，最后我们得到：「

    「左式=∫{-1}^{0}φ dx -∫{0}^{1}φ dx「

    「右式也是一样的结果，所以v确实是u的弱导数。「

    「而且由于|v(x)|=1在Ω上有界，显然u'∈ L1_loc(Ω)。「

    沈妍恍然大悟：「原来弱导数的本质是通过积分来定义的，这样就避开了函数在某些点不可导的问题。「

    「理解得很到位。「陈林装模做样，赞许地点点头，「我们继续看b小题。「

    「这个就简单了，因为我们已经在a小题中证明了关键的等式。「

    他快速写下：

    「由(a)已证：

    ∫Ω uφ' dx =∫{-1}^{0}φ dx -∫{0}^{1}φ dx

    -∫Ω u'φ dx =-∫Ω vφ dx =相同结果

    故等式成立。「

    做完第一题，陈林抬头看了看沈妍：「怎麽样，这一题涉及的弱导数的基本概念理解了吗？「

    沈妍认真地点点头：「比自己看书清楚多了。「

    「那我们继续第二题。「陈林翻到新的一页，「这道题涉及到Sobolev空间的完备性。「

    他开始在纸上构建证明框架：

    「要证明W^{1，p}空间是完备的，关键是利用L^p空间的完备性...「

    就这样，两人在安静的自习室里，一个认真讲解，一个专心学习。

    窗外的阳光渐渐西斜，在他们身上洒下一层温暖的金色。

    偶尔，沈妍会因为突然理解了某个难点而露出欣喜的表情。

    而陈林则会在她理解后，不动声色地继续下一个问题。

    这种教与学的氛围，让时间过得飞快。

    不知不觉间，草稿纸已经用了好几张，上面密密麻麻地写满了各种公式和推导。

    「最后这道变分原理的题目，「陈林活动了一下有些发酸的手腕，「涉及到Palais-Smale条件，这个概念确实比较抽象。「

    沈妍也揉了揉眼睛，连续看了这麽久的数学推导，确实有点累。

    但她的眼神依然明亮，显然收获颇丰。

    她看了一眼手机上的时间，已经快三个小时了。

    然后就听到陈林说：「今天就先到这里吧，我怕你一下子学太多东西消化不了。正好还有一点题目，你可以根据自己学的内容回家做做，有不懂的下次谘询再问我。」

    沈妍点点头：「好的。很感谢你愿意花这麽多时间指导我。」

    陈林笑了笑：「都说了你是大金主啊，我肯定得服务到位吧。」

    沈妍愣了愣，有点不好意思：「啊差点忘了，我马上把这次的谘询费转给你。」

    说着拿出手机微信转帐。

    陈林看着微信转帐的信息，心情更加愉悦了。

    和一个校花级美女独处3小时，还能猛赚1500，唯一消耗的脑力，晚上早点睡就轻松补回来了。

    还有比这更爽的事嘛？

    于是对沈妍说到：「下次谘询你提前一天找我约就行，我肯定排出空档好吧。」

    说完摆摆手，拎着书包转身就走出了自习教室。

    沈妍望着他的背影，自己已经是第三次见识到陈林非凡的数学天才了。

    回想起刚才陈林讲解题目时的沉着冷静的神情，又望了望他留下的草稿纸，心跳没来由地一阵加速，沈妍脸上多了一分不易察觉的红晕。